Dirichletreihe/Beschränkte Koeffizienten/Multiplikativ/Produktdarstellung/Fakt/Beweis

Beweis

Die Reihe und die Faktoren konvergieren für Realteil ${}>1$ wegen der Beschränktheit nach Fakt. Für eine endliche Teilmenge an Primzahlen sei ${}N(E)$ die von diesen Primzahlen multiplikativ dargestellen Zahlen. Dann ist wegen der Multiplikativität

${}\sum _{n\in N(E)}a_{n}n^{-s}=\prod _{p\in E}F_{p}\,.$

Die Aussage folgt dann aus dem Limesübergang, wenn ${}E$ zunehmend alle Primzahlen umfasst.

Zur bewiesenen Aussage