Diskrete Bewertungsringe/Charakterisierung/1/Fakt/Beweis

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ folgt direkt aus der Definition.

${}(2)\Rightarrow (3)$ folgt aus Fakt.

${}(3)\Rightarrow (4)$ folgt aus Fakt.

${}(4)\Rightarrow (5)$. Es sei ${}f\in {\mathfrak {m}}$, ${}f\neq 0$. Dann ist ${}R/(f)$ ein noetherscher lokaler Ring mit nur einem Primideal (nämlich ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}={\mathfrak {m}}R/(f)$). Daher gibt es nach Fakt ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\tilde {\mathfrak {m}}}^{n}=0$. Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass ${}{\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)$ gilt. Wir wählen ${}n$ minimal mit den Eigenschaften

${\mathfrak {m}}^{n}\subseteq (f)\,\,{\text{ und }}\,\,{\mathfrak {m}}^{n-1}\not \subseteq (f).$

Wähle $g\in {\mathfrak {m}}^{n-1}$ mit $g\not \in (f)$ und betrachte

${}h:={\frac {f}{g}}\in Q(R)\,$

(es ist ${}g\neq 0$). Das Inverse, also ${}h^{-1}={\frac {g}{f}}$, gehört nicht zu ${}R$, sonst wäre ${}g\in (f)$. Da ${}R$ nach Voraussetzung normal ist, ist ${}h^{-1}$ auch nicht ganz über ${}R$. Nach dem Modulkriterium Fakt für die Ganzheit gilt insbesondere für das maximale Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subset R$ die Beziehung

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}\not \subseteq {\mathfrak {m}}\,$

ist. Nach Wahl von ${}g$ ist aber auch

${}h^{-1}{\mathfrak {m}}={\frac {g}{f}}{\mathfrak {m}}\subseteq {\frac {{\mathfrak {m}}^{n}}{f}}\subseteq R\,.$

Daher ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$, das nicht im maximalen Ideal enthalten ist. Also ist ${}h^{-1}{\mathfrak {m}}=R$. Das heißt einerseits ${}h\in {\mathfrak {m}}$ und andererseits gilt für ein beliebiges ${}x\in {\mathfrak {m}}$ die Beziehung ${}h^{-1}x\in R$, also ${}x=h(h^{-1}x)$, also ${}x\in (h)$ und somit ${}(h)={\mathfrak {m}}$.

${}(5)\Rightarrow (1)$. Sei ${}{\mathfrak {m}}=(\pi )$. Dann ist ${}\pi$ ein Primelement und zwar bis auf Assoziiertheit das einzige. Es sei ${}f\in R$, ${}f\neq 0$ keine Einheit. Dann ist ${}f\in {\mathfrak {m}}$ und daher ${}f=\pi g_{1}$. Dann ist ${}g_{1}$ eine Einheit oder ${}g_{1}\in {\mathfrak {m}}$. Im zweiten Fall ist wieder ${}g_{1}=\pi g_{2}$ und ${}f=\pi ^{2}g_{2}$.

Wir behaupten, dass man ${}f=\pi ^{k}u$ mit einem ${}k\in \mathbb {N}$ und einer Einheit ${}u$ schreiben kann. Andernfalls könnte man ${}f=\pi ^{n}g_{n}$ mit beliebig großem ${}n$ schreiben. Nach Fakt gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}(\pi ^{m})={\mathfrak {m}}^{m}\subseteq (f)$. Bei ${}n\geq m+1$ ergibt sich ${}\pi ^{m}=af=a\pi ^{m+1}b$ und der Widerspruch ${}1=ab\pi$.

Es lässt sich also jede Nichteinheit ${}\neq 0$ als Produkt einer Potenz des Primelements mit einer Einheit schreiben. Insbesondere ist ${}R$ faktoriell. Für ein beliebiges Ideal ${}{\mathfrak {a}}=(f_{1},\ldots ,f_{s})$ ist ${}f_{i}=\pi ^{n_{i}}u_{i}$ mit Einheiten ${}u_{i}$. Dann sieht man leicht, dass ${}{\mathfrak {a}}=(\pi ^{n})$ ist mit ${}n=\min _{i}\{n_{i}\}$.

Zur bewiesenen Aussage