Diskrete Mathematik/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung
Es sei
d
{\displaystyle {}d}
eine fixierte positive natürliche Zahl. Dann gibt es zu jeder ganzen Zahl
n
{\displaystyle {}n}
eine eindeutig bestimmte ganze Zahl
q
{\displaystyle {}q}
und eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl
r
{\displaystyle {}r}
,
0
≤
r
≤
d
−
1
{\displaystyle {}0\leq r\leq d-1}
, mit
n
=
q
d
+
r
.
{\displaystyle {}n=qd+r\,.}
Es sei
R
{\displaystyle {}R}
ein
kommutativer Halbring
und seien
x
1
,
…
,
x
k
∈
R
{\displaystyle {}x_{1},\ldots ,x_{k}\in R}
Elemente und
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
.
Dann ist
(
x
1
+
⋯
+
x
k
)
n
=
∑
r
1
+
⋯
+
r
k
=
n
(
n
r
1
,
…
,
r
k
)
x
1
r
1
⋯
x
k
r
k
.
{\displaystyle {}{\left(x_{1}+\cdots +x_{k}\right)}^{n}=\sum _{r_{1}+\cdots +r_{k}=n}{\binom {n}{r_{1},\dotsc ,r_{k}}}x_{1}^{r_{1}}\cdots x_{k}^{r_{k}}\,.}
Es sei
G
{\displaystyle {}G}
ein
zusammenhängender
planarer Graph
mit
n
{\displaystyle {}n}
Knotenpunkten,
m
{\displaystyle {}m}
Kanten und
g
{\displaystyle {}g}
Gebieten. Dann gilt die eulersche Polyederformel
n
−
m
+
g
=
2
.
{\displaystyle {}n-m+g=2\,.}