Diskreter Bewertungsring/Erweiterung/Monogenitätstest/Nakayama/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die endliche Erweiterung

${}R=B[h]\subseteq S\,,$

die als identisch nachzuweisen ist. Es ist ${}{\mathfrak {m}}=B[h]\cap {\mathfrak {q}}$ das maximale Ideal von ${}B[h]$, der ebenfalls ein lokaler Ring ist, und es ist ${}{\mathfrak {m}}S=hS={\mathfrak {q}}$. Ferner ist

${}B[h]+hS=S\,.$

Für ${}f\in S$ gilt ja im Restekörper ${}\kappa ({\mathfrak {q}})$

${}{\overline {f}}={\overline {P}}({\overline {h}})\,$

mit einem Polynom ${}{\overline {P}}$ über ${}\kappa ({\mathfrak {p}})$. In ${}S$ gilt deshalb

${}f=P(h)+hg\,$

mit ${}g\in S$. Nach dem Lemma von Nakayama gilt ${}R=S$.

Zur bewiesenen Aussage