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Doppelintegral/Oberer Halbkreis/x^2y+xy^3/Beispiel
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Es sei
T
{\displaystyle {}T}
die obere Einheitskreishälfte und
f
:
T
⟶
R
,
(
x
,
y
)
⟼
f
(
x
,
y
)
=
x
2
y
+
x
y
3
.
{\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}y+xy^{3}.}
Dann ist nach
Fakt
∫
T
f
d
λ
2
=
∫
−
1
1
(
∫
0
1
−
x
2
x
2
y
+
x
y
3
d
y
)
d
x
=
∫
−
1
1
(
1
2
x
2
y
2
+
1
4
x
y
4
)
|
0
1
−
x
2
d
x
=
∫
−
1
1
(
1
2
x
2
1
−
x
2
2
+
1
4
x
1
−
x
2
4
)
d
x
=
∫
−
1
1
(
1
2
x
2
(
1
−
x
2
)
+
1
4
x
(
1
−
x
2
)
2
)
d
x
=
∫
−
1
1
(
1
2
x
2
−
1
2
x
4
+
1
4
x
−
1
2
x
3
+
1
4
x
5
)
d
x
=
(
1
8
x
2
+
1
6
x
3
−
1
8
x
4
−
1
10
x
5
+
1
24
x
6
)
|
−
1
1
=
2
15
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{T}fd\lambda ^{2}&=\int _{-1}^{1}{\left(\int _{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}x^{2}y+xy^{3}dy\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}y^{2}+{\frac {1}{4}}xy^{4}\right)}{|}_{0}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\sqrt {1-x^{2}}}^{2}+{\frac {1}{4}}x{\sqrt {1-x^{2}}}^{4}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}{\left(1-x^{2}\right)}+{\frac {1}{4}}x{\left(1-x^{2}\right)}^{2}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}x^{4}+{\frac {1}{4}}x-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{4}}x^{5}\right)}dx\\&={\left({\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{8}}x^{4}-{\frac {1}{10}}x^{5}+{\frac {1}{24}}x^{6}\right)}{|}_{-1}^{1}\\&={\frac {2}{15}}.\end{aligned}}}