Dreieck/Drei Punkte/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt ${}(a_{1},b_{1})$ in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind ${}(a_{2}-a_{1},b_{2}-b_{1})$ bzw. ${}(a_{3}-a_{1},b_{3}-b_{1})$. Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}&a_{3}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}&b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt ${}{\frac {1}{2}}$. Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}\vert {\det {\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}&a_{3}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}&b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}}\vert {\frac {1}{2}}&={\frac {1}{2}}\vert {(a_{2}-a_{1})(b_{3}-b_{1})-(a_{3}-a_{1})(b_{2}-b_{1})}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}}\vert .\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe