Dreiecksgeometrie/Feuerbachkreis/Einführung/Textabschnitt


Den Kreis in der vorstehenden Aussage nennt man den Feuerbachkreis oder auch den Neun-Punkte-Kreis.

Die neun Punkte des Neun-Punkte-Kreises: Die Seitenmittelpunkte (blau), die Höhenfußpunkte (rot) und die Mittelpunkte (grün) zwischen Eckpunkten und Höhenschnittpunkt (schwarz).



Durch die Eckpunkte sei ein nichtausgeartetes Dreieck in der euklidischen Ebene gegeben. Es sei der Umkreis zu den Seitenmittelpunkten des Dreiecks. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Der Radius von ist die Hälfte des Umkreisradius von .
  2. Die Verbindungsstrecken des Höhenschnittpunkts und der Eckpunkte werden durch halbiert.
  3. Die Höhenfußpunkte von liegen auf .

(1). Es sei der Umkreismittelpunkt des Ausgangsdreiecks, den wir als Ursprung eines kartesischen Koordinantensystems ansetzen. Wir betrachten dann den Punkt

Der Mittelpunkt der Dreiecksseite durch und besitzt zu den Abstand

Da die Normen von allen Eckpunkten nach Wahl von gleich sind, ist der Umkreismittelpunkt des Seitenmittelpunktsdreiecks und der Radius ist die Hälfte des Umkreisradius.

(2). Nach Fakt ist der Höhenschnittpunkt. Daher ist der Mittelpunkt der Strecke von zum Höhenschnittpunkt gleich

Der Abstand davon zu ist

(3). Zunächst liegen die unter (1) bzw. (2) konstruierten Punkte auf dem Kreis gegenüber. Es ist ja

der Mittelpunkt von . Somit bilden ein Seitenmittelpunkt, der gegenüberliegende Halbierungspunkt zwischen Eckpunkt und Höhenschnittpunkt und der entsprechende Höhenfußpunkt ein rechtwinkliges Dreieck. Dessen Thaleskreis ist stets der Feuerbachkreis.