Duale Abbildung/Untervektorräume/Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung zwischen den endlichdimensionalen ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$ und es sei

$\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

die duale Abbildung.

a) Zeige, dass für einen Untervektorraum ${}S\subseteq V$ die Beziehung

${}\varphi ^{*-1}(S^{\perp })=(\varphi (S))^{\perp }\,$

gilt.

b) Zeige, dass für einen Untervektorraum ${}T\subseteq W$ die Beziehung

${}\varphi ^{*}(T^{\perp })=(\varphi ^{-1}(T))^{\perp }\,$

gilt.

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