E^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f(0)=e^{0}-1=1-1=0\,,$

   daher ist ${}0$ ein Fixpunkt. Die Ableitung von ${}f(x)-x$ ist ${}{\left(f(x)-x\right)}'=e^{x}-1<0$ auf ${}\mathbb {R} _{-}$, daher ist ${}f(x)-x$ im negativen Bereich streng fallend und somit besitzt dort ${}f(x)-x$ keine weitere Nullstelle, also ist dort

   ${}f(x)\neq x\,.$

2. Es ist

   ${}f'(x)=e^{x}\leq 1\,$

   für alle ${}x\in \mathbb {R} _{\leq 0}$. Daher ist nach dem Mittelwertstz

   ${}{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\leq 1\,$

   für alle ${}x,y\in \mathbb {R} _{\leq 0}$. Somit ist

   ${}\vert {f(y)-f(x)}\vert \leq \vert {y-x}\vert \,,$

   was die Lipschitz-Eigenschaft mit Lipschitzfaktor ${}1$ bedeutet.

3. Wir betrachten den Differenzenquotienten

   ${}{\frac {f(y)-f(0)}{y-0}}={\frac {f(y)}{y}}={\frac {e^{y}-1}{y}}\,.$

   Für ${}y\rightarrow 0$ konvergiert dies gegen den Differentialquotienten an der Stelle ${}0$ von ${}f$, also gegen ${}1$. Würde eine starke Kontraktion vorliegen, so würde es ein ${}c<1$ geben, wofür insbesondere

   ${}\vert {f(y)}\vert \leq c\vert {y}\vert \,$

   gelten würde. Dann wäre

   ${}\vert {\frac {f(y)}{y}}\vert \leq c\,$

   im Widerspruch zur Konvergenzeigenschaft.

4. Nach Teil (1) ist ${}f(x)-x$ auf ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ streng fallend und daher ist ${}f(x)-x\geq 0$, also ${}f(x)\geq x$. Dies bedeutet, dass eine durch ${}f$ gegebene rekursive Folge wachsend ist. Da ferner ${}f(x)\leq 0$ gilt, liegt eine wachsende, nach oben beschränkte Folge vor, die in ${}\mathbb {R}$ konvergieren muss. Es sei ${}a$ der Grenzwert, der zu ${}\mathbb {R} _{\leq 0}$ gehört. Aufgrund der Stetigkeit ist ${}f(a)=a$, also muss nach Teil (1) ${}a=0$ sein.

Zur gelösten Aufgabe