E^x-1/Negativ/Keine starke Kontraktion/Banach/Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\leq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\leq 0},\,x\longmapsto e^{x}-1.$

1. Zeige, dass ${}0$ der einzige Fixpunkt von ${}f$ ist.
2. Zeige, dass ${}f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ${}1$ ist.
3. Zeige, dass ${}f$ keine starke Kontraktion ist.
4. Zeige, dass zu jedem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R} _{\leq 0}$ die rekursiv definierte Folge ${}x_{n+1}:=f(x_{n})$ gegen ${}0$ konvergiert.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen