Ebene/Drei Vektoren/Transformierbar/Aufgabe/Lösung

Da ${}v_{1},v_{2}$ und ${}w_{1},w_{2}$ Basen sind, gibt es nach dem Festlegungsatz eine bijektive lineare Abbildung ${}\psi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (v_{1})=w_{1}$ und ${}\varphi (v_{2})=w_{2}$. Unter ${}\psi$ bleiben die Voraussetzungen über die paarweise lineare Unabhängigkeit erhalten. Daher müssen wir nur noch die Situation von zwei Vektorfamilien der Form ${}v_{1},v_{2},y$ und ${}v_{1},v_{2},z$ betrachten. Es sei

${}y=av_{1}+bv_{2}\,$

und

${}z=cv_{1}+dv_{2}\,.$

Dabei sind ${}a,b,c,d\neq 0$, da andernfalls ${}y$ bzw. ${}z$ zu einem der ${}v_{i}$ linear abhängig wäre. Wir betrachten nun die lineare Abbildung ${}\varphi$, die durch ${}v_{1}\mapsto {\frac {c}{a}}v_{1}$ und ${}v_{2}\mapsto {\frac {d}{b}}v_{2}$ gegeben ist. Dann ist

${}{\begin{aligned}\varphi (y)&=\varphi (av_{1}+bv_{2})\\&=a\varphi (v_{1})+b\varphi (v_{2})\\&=a{\frac {c}{a}}v_{1}+b{\frac {d}{b}}v_{2}\\&=cv_{1}+bv_{2}\\&=z.\end{aligned}}$

Somit erfüllt ${}\varphi$ die geforderte Bedingung.

Zur gelösten Aufgabe