Ebene Kurve/Krümmung/Stammfunktion zu trigonometrischer Funktion/Fakt

Es sei ${}I$ ein Intervall, ${}0\in I$ und

$\psi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion. Es sei

${}\gamma (t):=\int _{0}^{t}{\begin{pmatrix}\cos \psi (s)\\\sin \psi (s)\end{pmatrix}}ds\,$

Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}\gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\,.$

2. Es ist

   ${}\gamma '(t)={\begin{pmatrix}\cos \psi (t)\\\sin \psi (t)\end{pmatrix}}\,.$

3. $I\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

   ist eine zweifach differenzierbare bogenparametrisierte ebene Kurve.

4. Es ist

   ${}\gamma ^{\prime \prime }(t)=\psi '(t){\begin{pmatrix}-\sin \psi (t)\\\cos \psi (t)\end{pmatrix}}\,.$

5. Die Krümmung ist

   ${}\kappa (t)=\psi '(t)\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen