Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

von -Vektorräumen. Nach Fakt sind die Dimensionen endlich. Dass die Dimensionen von konstant gleich der Multiplizität sind (für hinreichend groß) ist äquivalent dazu, dass die Differenz zwischen den Dimensionen von und konstant gleich der Multiplizität ist für hinreichend groß. Dies ist durch Induktion äquivalent dazu, dass

gilt für eine Konstante und hinreichend groß. Wir können durch Verschieben der Situation annehmen, dass der Nullpunkt in der Ebene ist. Sei das zugehörige maximale Ideal in . Dann ist , sodass die Aussage dafür zu zeigen ist.

Nach Voraussetzung hat die Gestalt mit . Damit ist insbesondere . Für ein weiteres Polynom (mit ) ist . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Bekanntlich ist die Dimension von gleich . Daher ergibt sich für die Gleichheit

Dies ist die Behauptung.