Ebene algebraische Kurve/Multiplizität über Hilbert-Samuel Polynom/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

von ${}K$-Vektorräumen. Nach Fakt sind die Dimensionen endlich. Dass die Dimensionen von ${}{\mathfrak {m}}^{n}/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ konstant gleich der Multiplizität sind (für ${}n$ hinreichend groß) ist äquivalent dazu, dass die Differenz zwischen den Dimensionen von ${}R/{\mathfrak {m}}^{n+1}$ und ${}R/{\mathfrak {m}}^{n}$ konstant gleich der Multiplizität ist für ${}n$ hinreichend groß. Dies ist durch Induktion äquivalent dazu, dass

${}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{n})=m_{P}n+c\,$

gilt für eine Konstante ${}c$ und ${}n$ hinreichend groß. Wir können durch Verschieben der Situation annehmen, dass ${}P$ der Nullpunkt in der Ebene ist. Sei ${}{\mathfrak {a}}=(X,Y)$ das zugehörige maximale Ideal in ${}S=K[X,Y]$. Dann ist ${}K[X,Y]/({\mathfrak {a}}^{n}+(F))=R/{\mathfrak {m}}^{n}$, so dass die Aussage dafür zu zeigen ist.

Nach Voraussetzung hat ${}F$ die Gestalt $F=F_{m}+F_{m+1}\ldots$ mit $m=m_{P}$. Damit ist insbesondere ${}F\in {\mathfrak {a}}^{m}$. Für ein weiteres Polynom ${}G\in {\mathfrak {a}}^{n-m}$ (mit $n\geq m$) ist ${}GF\in {\mathfrak {a}}^{n}$. Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{n-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{n},F)=R/{\mathfrak {m}}^{n}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Bekanntlich ist die Dimension von ${}S/{\mathfrak {a}}^{n}$ gleich ${}n(n+1)/2$. Daher ergibt sich für ${}n\geq m$ die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{n})&={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {(n-m)(n-m+1)}{2}}\\&={\frac {n^{2}+n-(n-m)^{2}-n+m}{2}}\\&={\frac {2nm-m^{2}+m}{2}}\\&=mn-{\frac {m(m-1)}{2}}.\end{aligned}}$

Dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage