Es sei F = F m + ⋯ + F d {\displaystyle {}F=F_{m}+\cdots +F_{d}} die homogene Zerlegung eines Polynoms F ∈ K [ X , Y ] {\displaystyle {}F\in K[X,Y]} mit m ≤ d {\displaystyle {}m\leq d} und es sei m = ( X , Y ) {\displaystyle {}{\mathfrak {m}}=(X,Y)} . Zeige, dass für jedes n ≥ m {\displaystyle {}n\geq m} die Multiplikationsabbildung
einen injektiven, wohldefinierten K [ X , Y ] {\displaystyle {}K[X,Y]} -Modulhomomorphismus
die
homogene Zerlegung
eines Polynoms
![{\displaystyle {}F\in K[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cdd276c30878fe836807b6fb354066c3d994817)
mit
und es sei
.
Zeige, dass für jedes
die Multiplikationsabbildung
![{\displaystyle K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y],\,G\longmapsto FG,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e368078b21eb72eb672b3793b5e30ef8ddf9dc5)
![{\displaystyle {}K[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2979004ad27b9ba60c428e400cbf04d9f0957730)
-Modulhomomorphismus
![{\displaystyle K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587fd41218b8e570bb73b4e9e350203c38311769)
