Polynomring/2/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

Es ist ${}F\in {\mathfrak {m}}^{n}$. Zum Nachweis der Wohldefiniertheit sei ${}G\in K[X,Y]$ mit ${}G\in {\mathfrak {m}}^{n-m}$. Dann ist ${}FG\in {\mathfrak {m}}^{n-m}\cdot {\mathfrak {m}}^{m}={\mathfrak {m}}^{m}$. Also gehört ${}{\mathfrak {m}}^{m-n}$ zum Kern der Gesamtabbildung

$K[X,Y]{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}K[X,Y]\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Nach dem Satz vom induzierten Homomorphismus gibt es somit einen ${}K[X,Y]$-Modulhomomorphismus

$K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n-m}\longrightarrow K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}.$

Zum Nachweis der Injektivität sei ${}G\in K[X,Y]$ mit ${}FG=0$ in ${}K[X,Y]/{\mathfrak {m}}^{n}$, also ${}FG\in {\mathfrak {m}}^{n}$. Wäre ${}G\notin {\mathfrak {m}}^{n-m}$, so würde in ${}G$ ein Monom ${}X^{i}Y^{j}$ vom Grad ${}i+j<n-m$ (mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten)

vorkommen. Doch dann kämen in ${}FG=F_{m}G+\cdots +F_{d}G$ Monome vom Grad ${}<m$ vor, und somit wäre ${}FG\notin {\mathfrak {m}}^{n}$.

Zur gelösten Aufgabe