Ebene algebraische Kurve/y^4+x^3+3xy^2+2x^2y/C/Multiplizität und Tangenten/Aufgabe/Lösung

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also ${}3$. Zur Bestimmung der Tangenten muss man ${}X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y$ in Linearfaktoren zerlegen. Es ist

${}X^{3}+3XY^{2}+2X^{2}Y=X(X^{2}+3Y^{2}+2XY)\,.$

Dabei ist

${}{\begin{aligned}X^{2}+3Y^{2}+2XY&=(X+Y)^{2}-Y^{2}+3Y^{2}\\&=(X+Y)^{2}+2Y^{2}\\&=(X+Y+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }Y)(X+Y-{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }Y).\end{aligned}}$

Als Tangenten ergeben sich also ${}X=0$

(${}Y$-Achse) und ${}X=-(1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })Y$ und ${}X=(-1+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} })Y$.

Zur gelösten Aufgabe