Ebene algebraische Kurve/y^6-2xy^5+x^2y^3+3x^3y^2+5x^4y/C/Multiplizität und Tangenten/Aufgabe/Lösung

Die Multiplizität ist der Grad der homogenen Komponenten vom kleinsten Grad, also ${}5$. Zur Bestimmung der Tangenten muss man ${}X^{2}Y^{3}+3X^{3}Y^{2}+5X^{4}Y$ in Linearfaktoren zerlegen. Es ist

${}X^{2}Y^{3}+3X^{3}Y^{2}+5X^{4}Y=X^{2}Y{\left(Y^{2}+3XY+5X^{2}\right)}\,.$

Für den hinteren Faktor gilt

${}{\begin{aligned}Y^{2}+3XY+5X^{2}&={\left(Y+{\frac {3}{2}}X\right)}^{2}+{\left(5-{\frac {9}{4}}\right)}X^{2}\\&={\left(Y+{\frac {3}{2}}X\right)}^{2}+{\frac {11}{4}}X^{2}\\&={\left(Y+{\frac {3}{2}}X+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}X\right)}{\left(Y+{\frac {3}{2}}X-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}X\right)}\\&={\left(Y+{\left({\frac {3}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}\right)}X\right)}{\left(Y+{\left({\frac {3}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}\right)}X\right)}.\end{aligned}}$

Als Tangentengleichungen ergeben sich also ${}X=0$ (die ${}Y$-Achse mit der Multiplizität ${}2$), ${}Y=0$, ${}Y+{\left({\frac {3}{2}}+{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}\right)}X=0$ und ${}Y+{\left({\frac {3}{2}}-{\mathrm {i} }{\frac {\sqrt {11}}{2}}\right)}X=0$

(jeweils mit einfacher Multiplizität).

Zur gelösten Aufgabe