Ebene algebraische Kurven/Parametrisierung der Form (t^2,F(t))/Wann injektiv/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$. Es sei eine polynomiale Abbildung der Form

$\varphi \colon {\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,t\longmapsto (t^{2},\psi (t)),$

gegeben (mit ${}\psi (t)\in K[t]$). Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann injektiv ist, wenn ${}\psi$ die Form hat

${}\psi (t)=at^{n}+\theta (t)\,$

mit ${}a\neq 0$, ${}n$ ungerade und ${}\theta (t)$ ein Polynom, in dem nur geradzahlige Exponenten auftreten.

Eine Lösung erstellen