Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Restdimension ist endlich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {m}}$ das maximale Ideal in ${}R$. Da $F$ und $G$ keinen gemeinsamen Teiler haben, gibt es in ${}R$ zwischen $(F,G)$ und ${\mathfrak {m}}$ kein weiteres Primideal. Daher ist in ${}R/(F,G)$ jede Nichteinheit nilpotent. Daher gilt in ${}R$ die Beziehung ${}{\mathfrak {m}}^{s}\subseteq (F,G)\subseteq {\mathfrak {m}}$ für ein ${}s$. Es liegt daher eine Surjektion

$R/{\mathfrak {m}}^{s}\longrightarrow R/(F,G)$

vor. Nach Fakt besitzt der Restklassenring links eine endliche ${}K$-Dimension, so dass dies auch für den Restklassenring rechts gilt.

Zur bewiesenen Aussage