Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Wir setzen ${}R=K[X,Y]_{(X,Y)}$ und ${}H=aX+bY$, und wir nehmen ${}b\neq 0$ an, sodass wir ${}Y=cX$ schreiben können. Es sei zunächst die Gerade ${}L$ keine Tangente von ${}V(F)$ in ${}P$, also keine Komponente von ${}V(F_{m})$. Es ist dann

${}R/(F,H)\cong K[X]_{(X)}/(F_{m}(X,cX)+\cdots +F_{d}(X,cX))\,.$

Hierbei ist ${}F_{m}(X,cX)\neq 0$ und es wird ${}X^{m}u$ mit einer Einheit ${}u$ rausdividiert, sodass der Restklassenring die ${}K$-Dimension ${}m$ besitzt. Im allgemeinen Fall gibt es ein minimales ${}i$, ${}m\leq i\leq d$, mit ${}F_{i}(X,cX)\neq 0$ (sonst wäre ${}L$ eine Komponente von ${}V(F)$). Dann ist mit dem gleichen Argument die Dimension des Restklassenringes gleich ${}i\geq m$.

Zur bewiesenen Aussage