Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Schnitt mit Gerade/Abschätzung zur Multiplizität/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ${}F=F_{m}+\cdots +F_{d}\in K[X,Y]$, ${}m\leq d$, ein Polynom in homogener Zerlegung und ${}L=V(aX+bY)$ eine Gerade durch den Nullpunkt ${}P$, die keine Komponente von ${}V(F)$ sei.

Dann ist

${}\operatorname {mult} _{P}(L,V(F))\geq m_{P}\,(F)=m\,,$

d.h. die Schnittmultiplizität einer Kurve mit einer Geraden ist mindestens so groß wie die Multiplizität der Kurve im Schnittpunkt.

Wenn ${}L$ keine Tangente der Kurve ist, so gilt hierbei Gleichheit.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen