Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall
(und ).
Sei
.
Wegen
hat man eine surjektive Abbildung
.
Andererseits induziert die Multiplikation mit einen
-Modulhomomorphismus
.
Wir behaupten, dass eine
kurze exakte Sequenz
-
vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei ein Element, das rechts auf abgebildet wird. Dann kann man in schreiben:
.
Dann repräsentiert ebenfalls diese Klasse in , und dieses kommt von links. Es sei nun ein Element, das durch Multiplikation mit auf abgebildet wird, also
.
Wir schreiben dies als
-
Da
und
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für und . Also muss ein Teiler von sein und es ergibt sich eine Beziehung
,
woraus folgt, dass bereits
ist.
Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität