Ebene algebraische Kurven/Schnittmultiplizität/Summenformel für Schnittmultiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Diese Aussage folgt durch Induktion aus dem Spezialfall ${}F=F_{1}F_{2}$ (und ${}G=G$). Sei ${}R=K[X,Y]_{{\mathfrak {m}}_{P}}$. Wegen ${}(F_{1}F_{2},G)\subseteq (F_{2},G)$ hat man eine surjektive Abbildung ${}R/(F_{1}F_{2},G)\rightarrow R/(F_{2},G)$. Andererseits induziert die Multiplikation mit ${}F_{2}$ einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}R/(F_{1},G)\rightarrow R/(F_{1}F_{2},G)$. Wir behaupten, dass eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1},G)\,{\stackrel {\cdot F_{2}}{\longrightarrow }}\,R/(F_{1}F_{2},G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,R/(F_{2},G)\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vorliegt. Dabei ist die Surjektivität klar und ebenso, dass die hintereinander geschalteten Abbildungen die Nullabbildung sind. Es sei ${}z\in R/(F_{1}F_{2},G)$ ein Element, das rechts auf ${}0$ abgebildet wird. Dann kann man in ${}R$ schreiben: ${}z=AF_{2}+BG$. Dann repräsentiert ${}AF_{2}$ ebenfalls diese Klasse in ${}R/(F_{1}F_{2},G)$, und dieses kommt von links. Es sei nun ${}w\in R/(F_{1},G)$ ein Element, das durch Multiplikation mit ${}F_{2}$ auf ${}0$ abgebildet wird, also ${}wF_{2}=CF_{1}F_{2}+DG$. Wir schreiben dies als

${}(w-CF_{1})F_{2}=DG\,.$

Da ${}F$ und ${}G$ keinen gemeinsamen Primteiler besitzen, gilt dies erst recht für ${}F_{2}$ und ${}G$. Also muss ${}F_{2}$ ein Teiler von ${}D$ sein und es ergibt sich eine Beziehung ${}(w-CF_{1})={\tilde {D}}G$, woraus folgt, dass bereits ${}w=0$ ist.

Aus der Additivitätseigenschaft von kurzen exakten Sequenzen folgt die gewünschte Identität

${}{\begin{aligned}\operatorname {mult} _{P}(F_{1}F_{2},G)&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1}F_{2},G)\right)}\\&=\dim _{K}{\left(R/(F_{1},G)\right)}+\dim _{K}{\left(R/(F_{2},G)\right)}\\&=\operatorname {mult} _{P}(F_{1},G)+\operatorname {mult} _{P}(F_{2},G).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage