Ebene differenzierbare Kurve/Faser/Krümmung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\gamma \colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ eine Bogenparametrisierung der Kurve ${}Y$ in einer Umgebung von ${}P$ mit ${}\gamma (0)=P$, die mit der gegebenen Orientierung übereinstimmt. Das totale Differential

$\left(DN\right)_{P}\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

ist linear, daher genügt es, die Aussage für den Vektor ${}\gamma '(0)$ zu zeigen. Nach der Kettenregel ist

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=(N\circ \gamma )'(0)\,.$

Dieser Vektor ist ein Vielfaches von ${}\gamma '(0)$ und daher ist dies gleich

$\left\langle (N\circ \gamma )'(0),\gamma '(0)\right\rangle \gamma '(0).$

Wegen der Orthogonalitätsbedingung ist

${}\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma '(t)\right\rangle =0\,$

für alle ${}t\in I$ und daher

${}\left\langle (N\circ \gamma )'(t),\gamma '(t)\right\rangle +\left\langle (N\circ \gamma )(t),\gamma ^{\prime \prime }(t)\right\rangle =0\,.$

Also ist

${}{\left(DN\right)}_{P}{\left(\gamma '(0)\right)}=-\left\langle (N\circ \gamma )(0),\gamma ^{\prime \prime }(0)\right\rangle \gamma '(0)=-\kappa (\gamma (0))\gamma '(0)\,$

nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage