Durch eine lineare Transformation können wir erreichen, dass
ist und dass die Tangente der Kurve durch diesen Punkt durch
gegeben ist. Da die Tangente durch die Gleichung
-
beschrieben wird, folgt
-
Dies bedeutet wiederum, dass die Monome
und
nicht in vorkommen. Die Hesse-Matrix hat somit im gegebenen Punkt die Form
-
Diese Hesse-Matrix ist nach Voraussetzung nicht
invertierbar,
es sei
ein Element des Kernes. Wir betrachten zuerst den Fall, wo
ist. Aus der dritten Zeile folgt
-
Daher kommt in nicht vor. Dies bedeutet, dass in die Variable höchstens in der ersten Potenz vorkommt. Doch in diesem Fall ist die Kurve nach
Aufgabe
nicht glatt.
Wir betrachten nun den Fall, wo
ist, sagen wir
.
Bei
erhält man mit der zweiten Zeile wie soeben eine nichtglatte Kurve. Es sei also
.
Da
und
zusammen mit die gleiche projektive Gerade definieren, können wir nach einer weiteren linearen Transformation, die die Koordinaten des Punktes und die Tangentengleichung nicht ändert,
annehmen. Daraus ergibt sich
-
was wiederum bedeutet, dass die Monome
und
in nicht vorkommen. Somit besitzt die Form
-
mit einem homogenen Polynom vom Grad in
und .
Da die Kurve irreduzibel ist, muss in vorkommen. Wenn man die so gegebene Kurve mit der Tangente, also mit der Bedingung
schneidet, so muss
und also
sein, es gibt also genau einen Schnittpunkt mit der Tangente.