Ebene kubische Kurven/Projektiv/Legendresche Normalform/Textabschnitt


Man sagt, dass eine elliptische Kurve in Legendrescher Normalform vorliegt, wenn sie durch eine Gleichung der Form

mit beschrieben wird.

Es ist

Wenn man aus der Legendreschen Normalform die Weierstraßsche Normalform erhalten möchte, so muss man hier den quadratischen Term eliminieren. Wenn Weierstraßsche Normalform vorliegt, so muss das Polynom im Allgemeinen keine Faktorzerlegung in Linearfaktoren besitzen. Nach einer endlichen Erweiterung des Körpers und erst recht über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist aber eine solche Zerlegung möglich. Durch Verschieben und Strecken kann man dann erreichen, dass und Nullstellen sind, die dritte Nullstelle kann alles sein und man hat im Allgemeinen keine Optimierungsmöglichkeiten mehr.



Es sei ein Körper der Charakteristik und es liege eine elliptische Kurve über in Legendrescher Normalform

vor. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Eine kurze Weierstraßgleichung von ist durch

    mit

    und

    gegeben.

  2. Die Diskriminante von ist
  3. Die -Invariante von ist
  1. Es ist

    Mit dem Ansatz

    ist dies gleich

  2. Eine längere Rechnung (siehe Aufgabe und Aufgabe) zeigt
  3. Es ist


Die dritte Nullstelle, also das in der Legendreschen Normalform, ist durch die elliptische Kurve nicht eindeutig bestimmt. Stattdessen kann man auch

nehmen.