Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Implizite Abbildungen/Kompakte riemannsche Fläche/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Situation auf dem affinen Stück

Dabei ist , wobei hier die Dehomogenisierung von bezüglich der Variablen bezeichnet, also in einfach gesetzt wird und die verbleibenden Variablen und sich auf beziehen. Bei diesem Prozess ist (siehe Aufgabe)

und

Wegen Aufgabe ist in jedem Punkt der Kurve zumindest eine dieser partiellen Ableitungen . Somit sind auf und ebenso auf den beiden anderen affinen Ausschnitten die Bedingungen aus Fakt erfüllt und die sind jeweils eine riemannsche Fläche. Auf passen die komplexen Strukturen zusammen, da der Satz über implizite Abbildungen eine eindeutige komplexe Struktur festlegt.

Die Kompaktheit ergibt sich aus Fakt.