Ebene projektive Kurve/C/Glattheit/Kompakte riemannsche Fläche/1/Aufgabe/Lösung


Wir verwenden Fakt, es ist also zu zeigen, dass die partiellen Ableitungen von

auf keinem Punkt von simultan verschwinden. Die partiellen Ableitungen sind

Es sei ein Punkt, in dem alle partiellen Ableitungen sind. Dann ist nach der letzten Ableitung oder . Aus folgt aus der ersten und der zweiten partiellen Ableitung sofort , was aber kein projektiver Punkt ist. Also ist

Die Bedingungen werden dann zu

und

Wir wissen bereits . Aus folgt ebenfalls aus der ersten Bedingung direkt . Also werden die Bedingungen zu

Aus

folgt dann aber wieder ,

was wir schon ausgeschlossen haben.