Ebene projektive Kurven/Kegelschnitt als affine Ausschnitte/Beispiel

Wir betrachten den Standardkegel

${}V(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\,.$

Da dies durch eine homogene Gleichung gegeben ist, kann man diesen Kegel auch sofort als eine ebene projektive Kurve (vom Grad zwei)

${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}\,$

auffassen. Die Schnitte des Kegels mit einer beliebigen Ebene ${}E\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$ nennt man Kegelschnitte. Diese bekommen nun eine neue Interpretation. Eine Ebene ${}E$, auf der nicht der Nullpunkt liegt, kann man in natürlicher Weise identifizieren mit einer offenen affinen Ebene ${}D_{+}(L)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ (wobei ${}L$ eine homogene Linearform ist, die den Untervektorraum zu ${}E$ beschreibt). Die Schnitte mit dem Kegel sind dann verschiedene affine Ausschnitte aus der ebenen projektiven Kurve ${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})$. Insbesondere sind also Kreis, Hyperbel und Parabel solche affinen Ausschnitte.

Die Schnitte mit einer Ebenen durch den Nullpunkt sind hingegen projektiv verstanden die endlichen Teilmengen ${}V_{+}(X^{2}+Y^{2}-Z^{2})\cap V_{+}(L)$.