Ebene projektive monomiale Kurve/Singularität/Gesamtmultiplizität/Fakt

Seien ${}e>d$ teilerfremd. Für die durch

$(s,t)\longmapsto \left(s^{e},\,s^{d}t^{e-d},\,t^{e}\right)$

gegebene ebene projektive monomiale Kurve ${}C$ vom Grad ${}e$ gelten folgende Aussagen.

1. Die Kurve wird durch die homogene Gleichung ${}Y^{e}=X^{d}Z^{e-d}$ vom Grad ${}e$ beschrieben.
2. Die Kurve ist glatt für alle Punkte $\neq (0,0,1)$ und $\neq (1,0,0)$.
3. Die Kurve hat im Punkt ${}(0,0,1)$ die Multiplizität ${}d$ und im Punkt ${}(1,0,0)$ die Multiplizität ${}e-d$.
4. Bei ${}e\geq 3$ ist die Kurve nicht glatt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen