Eigentliche Bewegungsgruppe/Fix/Endliche Untergruppe/Drei Halbachsenklassen/2/2/Dieder/Fakt/Beweis

Beweis

Es gibt drei Halbachsenklassen ${}K_{1}$, ${}K_{2}$, ${}K_{3}$, und zwar zwei mit der Ordnung ${}2$ (und je ${}k$ Halbachsen in der Klasse) und eine mit der Ordnung ${}k$ und zwei Halbachsen (die Anzahlen der Halbachsen folgen mit ${}n_{1}=n_{2}=2$ aus Fakt). Bei ${}k\geq 3$ müssen die beiden Halbachsen aus der dritten Klasse eine Gerade bilden, da ja die gegenüberliegende Halbachse die gleiche Ordnung besitzt, und bei ${}k=2$ muss jede Halbachse zu ihrem Gegenüber äquivalent sein. Wir bezeichnen die Achse zu ${}K_{3}$ mit ${}A_{3}$. Jedes Gruppenelement mit einer anderen Drehachse muss die beiden Halbachsen aus ${}K_{3}$ ineinander überführen, so dass alle anderen Achsen senkrecht zu ${}A_{3}$ stehen. Es sei ${}g$ eine erzeugende Drehung um ${}A_{3}$. Zu einer Halbachse ${}H_{1}$ aus ${}K_{1}$ sind die

$g^{i}(H_{1}),i=0,\ldots ,k-1,$

genau alle Halbachsen aus ${}K_{1}$. Diese (bzw. die Punkte darauf mit der Norm ${}1$) bilden ein regelmäßiges ${}k$-Eck in der zu ${}A_{3}$ senkrechten Ebene. Entsprechendes gilt für ${}g^{i}(H_{2})$ mit ${}H_{2}\in K_{2}$. Jede Halbdrehung um eine der Achsen aus ${}K_{1}$ überführt die Halbachsen aus ${}K_{2}$ in ebensolche. Daher liefern die Halbachsen aus ${}K_{2}$ eine „Halbierung“ des ${}k$-Ecks. Somit handelt es sich insgesamt um die (uneigentliche) Symmetriegruppe eines regelmäßigen ${}k$-Ecks oder um die eigentliche Symmetriegruppe der Doppelpyramide über einem regelmäßigen ${}k$-Eck, d.h. um eine Diedergruppe ${}D_{k}$.

Zur bewiesenen Aussage