Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe

Es seien ${}r$ und ${}R$ positive reelle Zahlen mit ${}0<r<R$, wir betrachten den (eingebetteten) Torus

${}T={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}=r^{2}\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der induzierten riemannschen Struktur. Zeige, dass zu jedem ${}\alpha \in [0,2\pi [$ die Abbildung

$\Psi _{\alpha }\colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x,\,y,\,z\right)\longmapsto \left(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,\,x\sin \alpha +y\cos \alpha ,\,z\right),$

eine Isometrie von ${}T$ in sich induziert.

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