Eingebetteter Torus/Drehung/Isometrie/Aufgabe/Lösung

Die Abbildung ist auf

${}\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} \,$

das Produkt einer ebenen Drehung mit der Identität. Daher liegt eine euklidische Isometrie des ${}\mathbb {R} ^{3}$ vor. Es sei ${}(x,y,z)\in T$ und

${}\Psi _{\alpha }(x,y,z)=(u,v,z)\,.$

Dann ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\left({\sqrt {u^{2}+v^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {{\left(x\cos \alpha -y\sin \alpha \right)}^{2}+{\left(x\sin \alpha +y\cos \alpha \right)}^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\alpha +y^{2}\sin ^{2}\alpha -2xy\cos \alpha \sin \alpha +x^{2}\sin ^{2}\alpha +y^{2}\cos ^{2}\alpha +2xy\cos \alpha \sin \alpha }}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&={\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)}^{2}+z^{2}\\&=r^{2},\,\end{aligned}}$

also ${}\Psi _{\alpha }(x,y,z)\in T$. Es ist also

$\Psi _{\alpha }\colon T\longrightarrow T$

ein Diffeomorphismus und eine Isometrie, da ${}T$ die induzierte riemannsche Struktur trägt.

Zur gelösten Aufgabe