Einheitskreis/Als Graph/Bogenlänge/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon [-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)={\sqrt {1-x^{2}}},$

die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist

${}f'(x)={\frac {1}{2}}{\frac {-2x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=-{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,,$

wobei diese Gleichheit nur im Innern ${}]{-1},1[$ Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier Fakt zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von

${}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{1-x^{2}}}}}={\sqrt {\frac {1-x^{2}+x^{2}}{1-x^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,.$

Die Stammfunktion davon ist ${}\arcsin x$ gemäß Fakt. Daher ist

${}L=\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\arcsin x|_{-1}^{1}={\frac {\pi }{2}}-{\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)}=\pi \,.$