Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt

Es sei ${}f$ eine rationale Funktion in ${}x$ und in ${}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ (mit $a,b,c\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0$ und so, dass $ax^{2}+bx+c$ auch positive Werte annimmt), schreiben kann, d.h. es gebe Polynome in zwei Variablen, ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$, ${}Q\neq 0$, derart, dass

${}f(x)={\frac {P{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}{Q{\left(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\right)}}}\,$

gilt.

Dann kann man durch eine Substitution der Form

${}x=\alpha t+\beta \,$

($\alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\alpha \neq 0$), die Berechnung von ${}\int f(x)dx$ auf ein Integral der Form

1. ${}\int R{\left(t,{\sqrt {1-t^{2}}}\right)}dt$,
2. ${}\int R{\left(t,{\sqrt {t^{2}-1}}\right)}dt$,
3. ${}\int R{\left(t,{\sqrt {t^{2}+1}}\right)}dt$,

zurückführen, wobei ${}R$ wieder eine rationale Funktion in zwei Variablen ist.

In diesen drei Fällen führen die Substitutionen

1. ${}t=\sin s$,
2. ${}t=\cosh s$,
3. ${}t=\sinh s$,

auf das Integral über eine rationale Funktion in trigonometrischen Funktionen bzw. in Hyperbelfunktionen

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen