Durch eine
Substitution
der Form
bzw.
vereinfacht sich die Quadratwurzel zu
bzw. zu
.
Quadratisches Ergänzen führt zu
bzw.
.
Durch eine weitere Substitution der Form
erhält man
oder
oder aber
.
Dies sind alles affin-lineare Substitutionen. Die Ergebnisse unter der Gesamtsubstitution sind von der angegebenen Art.
Wenn es sich um ein Integral zu einer rationalen Funktion der Form
-
handelt, so führt
zu
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {1-t^{2}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}s}}={\sqrt {\cos ^{2}s}}=\cos s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b763807ac2da52ce285c0c16be5bc84e64e2a8a2)
und zu
-
![{\displaystyle {}dt={\left(\sin s\right)}'ds=\cos sds\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112f40181141f3d1da79e56d50d9c17600588284)
so dass sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen
und
ergibt.
Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
-
führt
(unter Verwendung von
,
siehe
Aufgabe)
zu
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {t^{2}-1}}=\sinh s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca932313212fe188f6698231feec300ecfac360)
und zu
-
![{\displaystyle {}dt=(\cosh s)'ds=\sinh sds\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fdbcf7be36e48d235cfbb5c69b7b7e5d7c120a)
so dass sich eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen
und
ergibt.
Bei einem Integral zu einer rationalen Funktion der Form
-
führt
zu
-
![{\displaystyle {}{\sqrt {t^{2}+1}}=\cosh s\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c331b33bac1e6fc683618ec53ba8615ccc8d369)
und zu
-
![{\displaystyle {}dt=(\sinh s)'ds=\cosh sds\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/858295165852c65388633123a41bd3f5f212ec1f)
so dass sich wieder eine rationale Funktion in den Hyperbelfunktionen
und
ergibt.