Einheitskreis/Argument als Winkel/Homogenität/Fakt/Beweis

Beweis

Der euklidische Abstand zwischen den beiden Punkten ist

${\sqrt {{\left(\cos \left(\varphi +\psi \right)-\cos \varphi \right)}^{2}+{\left(\sin \left(\varphi +\psi \right)-\sin \varphi \right)}^{2}}}.$

Unter Verwendung der Additionstheoreme kann man den Radikanden umformen zu

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,{\left(\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi -\cos \varphi \right)}^{2}+{\left(\sin \varphi \cos \psi +\sin \psi \cos \varphi -\sin \varphi \right)}^{2}\\&=\cos ^{2}\varphi \cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\varphi \sin ^{2}\psi +\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \\&\,\,\,\,\,\,-2\cos \varphi \cos \psi \sin \varphi \sin \psi -2\cos ^{2}\varphi \cos \psi +2\sin \varphi \sin \psi \cos \varphi \\&\,\,\,\,\,\,+2\sin \varphi \cos \psi \sin \psi \cos \varphi -2\sin ^{2}\varphi \cos \psi -2\sin \varphi \sin \psi \cos \varphi \\&=1-2\cos \psi +\cos ^{2}\psi +\sin ^{2}\psi \\&=2-2\cos \psi .\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage