Einheitskreis/Integral/Funktion/x^3+3xy^2+xy/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{E}x^{3}+3xy^{2}+xyd\lambda ^{2}&=\int _{-1}^{1}\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\left(x^{3}+3xy^{2}+xy\right)}dydx\\&=\int _{-1}^{1}{\left(x^{3}y+xy^{3}+{\frac {1}{2}}xy^{2}\right)}{|}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}dx\\&=\int _{-1}^{1}{\left(2x^{3}{\sqrt {1-x^{2}}}+2x(1-x^{2}){\sqrt {1-x^{2}}}\right)}dx\\&=\int _{-1}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}dx.\end{aligned}}$

Mit der Substitution ${}x=\sin t$ ist dieses Integral gleich

${}{\begin{aligned}\int _{-\pi /2}^{\pi /2}2\sin t\cos t\cos tdt&=2\int _{-\pi /2}^{\pi /2}\sin t\cos ^{2}tdt\\&=-{\frac {2}{3}}\cos ^{3}t{|}_{-\pi /2}^{\pi /2}\\&=0.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe