Die obere Kreislinie des Einheitskreises ist die Punktmenge
-
Zu gegebenem
,
,
gibt es genau ein
, das diese Bedingung erfüllt, nämlich
.
Daher ist der Flächeninhalt der oberen Einheitskreishälfte gleich der Fläche unter dem Graphen der Funktion
über dem Intervall
, also gleich
-
Mit der
Substitution
-
(wobei
nach
Fakt
bijektiv ist),
erhält man unter Verwendung von
Beispiel
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{a}^{b}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&=\int _{\arccos a}^{\arccos b}{\sqrt {1-\cos ^{2}t}}(-\sin t)\,dt\\&=-\int _{\arccos a}^{\arccos b}\sin ^{2}t\,dt\\&={\frac {1}{2}}(\sin t\cos t-t)|_{\arccos a}^{\arccos b}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd0a492fb2d174bb6d19446c92662fa45a11eee)
Insbesondere ist
-
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\left(x\cdot \sin \left(\arccos x\right)-\arccos x\right)}={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76ba69fa4df393dbcf7e528528e371f12e3a9e8)
eine
Stammfunktion
zu
. Daher ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx&={\frac {1}{2}}{\left(x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}}-\arccos x\right)}|_{-1}^{1}\\&={\frac {1}{2}}(-\arccos 1+\arccos(-1))\\&=\pi /2.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a2a36a7911b2bafb3695a78907a82d4da07f9c9)