Einheitskreis/Rationale Punkte/Dichtheit/1/Fakt/Beweis

Beweis

Die Parametrisierung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto \varphi (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\,{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right),$

ist stetig, da sie komponentenweise durch rationale Funktionen gegeben ist. Es sei ${}s\in S^{1}$ ein Punkt des Einheitskreises. Der Punkt ${}s=(-1,0)$ (der Punkt, der von der Parametrisierung nicht erfasst wird), ist selbst rational. Es sei also ${}s\neq (-1,0)$, und sei ${}t\in \mathbb {R}$ eine reelle Zahl mit ${}\varphi (t)=s$. Es sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Aufgrund der Stetigkeit gibt es dann auch ein ${}\delta >0$ derart, dass die Ballumgebung ${}B(t,\delta )$ (das ist die Intervallumgebung $]t-\delta ,t+\delta [$) nach ${}B(s,\epsilon )$ hinein abgebildet wird, also ${}\varphi (B(t,\delta ))\subseteq B(s,\epsilon )$. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es eine rationale Zahl ${}q\in B(t,\delta )$. Dann ist ${}\varphi (q)$ ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten, der in der ${}\epsilon$-Umgebung von ${}s$ liegt.

Zur bewiesenen Aussage