Einschaliges Hyperboloid/Weingartenabbildung/Beispiel

Wir knüpfen an Beispiel an. Die Jacobi-Matrix des Einheitsnormalenfeldes

ist

Die Weingartenabbildung ist die negierte Einschränkung dieser Abbildung auf den Tangentialraum an die Fläche, wobei Fakt sicherstellt, dass wir wieder im Tangentialraum landen. Wir setzen voraus und arbeiten mit der Basis und des Tangentialraumes. Es ist

sodass wir unmittelbar den Eigenvektor mit dem Eigenwert gefunden haben. Ferner ist

Somit wird die Weingartenabbildung bezüglich dieser Basis durch die Matrix

beschrieben. Einen zweiten Eigenvektor im Tangentialraum erhält man (in Hinblick auf Fakt) am einfachsten, wenn man zum ersten Eigenvektor und zum Normalenvektor einen senkrechten Vektor bestimmt. Dies ergibt den Vektor , und in der Tat ist (ohne den skalaren Vorfaktor)

Der Eigenwert ist also (dies ist auch schon aus der beschreibenden Dreiecksmatrix ablesbar).