Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Ein Polynom vom Grad zwei oder drei ist genau dann irreduzibel, wenn es keine Nullstelle in ${}K$ besitzt.
2. Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${}a,b\in R$. Dann ist ${}a$ ein Teiler von ${}b$ genau dann, wenn für die Exponenten zu jedem Primelement ${}p$ die Abschätzung

   ${}{\exp _{p}(a)}\leq {\exp _{p}(b)}\,$

   gelten.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

   ${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,$

   wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$. Dann ist auch die Familie

   $v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

   eine Basis von ${}V$.

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