Elementare Mathematik 2/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Unter einer Geraden in Punktvektorform versteht man einen affinen Unterraum ${}G\subseteq K^{n}$ der Form

   ${}G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$

   mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.

2. Die ${}m\times n$-Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

   wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$.

3. Eine Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).
   1. ${}x\sim x$.
   2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$.
   3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$.
4. Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar ${}(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
   1. ${}A$ und ${}B$ sind nicht leer.

   2. ${}A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$

      d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

   3. Für jedes ${}x\in A$ und jedes ${}y\in B$ ist ${}x<y$.
   4. Zu ${}x\in A$ gibt es ein ${}x'\in A$ mit ${}x'>x$.
5. Zu einem Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in ${}(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen ${}\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu diesem Winkel.
6. Unter einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum versteht man eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Zur gelösten Aufgabe