Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	4	3	4	0	0	5	0	4	4	0	0	0	30

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Die Primzahlfunktion.
4. Ein lokaler Ring.
5. Ein Hauptdivisor zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich ${}R$.
6. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Satz über die diophantische Gleichung ${}x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

b) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a) ${}n=49$.

b) ${}n=75$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$, und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über ${}\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)