Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 0 }
\renewcommand{\avier}{ 0 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 3 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 0 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 0 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 4 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 30 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Primelement} {}
\mathl{p \in R, \, p \neq 0}{,} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die
\stichwort {eulersche Funktion} {}
\mathl{\varphi(n)}{} zu
\mathl{n \in \N}{.}
}{Die \stichwort {Primzahlfunktion} {.}
}{Ein \stichwort {lokaler} {} Ring.
}{Ein \stichwort {Hauptdivisor} {} zu einem Element
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine \stichwort {quadratische Form} {} auf einem $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} $L$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Das Element $p$ heißt prim, wenn es eine
\definitionsverweis {Nichteinheit}{}{}
ist und wenn folgendes gilt: Teilt $p$ ein Produkt
\mathbed {ab} {mit}
{a,b \in R} {}
{} {} {} {,}
so teilt es einen der Faktoren.
}{Zu einer natürlichen Zahl $n$ bezeichnet
\mathl{{\varphi (n)}}{} die Anzahl der Elemente von
\mathl{(\Z/(n))^{\times}}{.}
}{Die für
\mathl{x\in \R}{} definierte Funktion
\mathdisp {x \longmapsto \pi (x) \defeq { \# \left( { \left\{ p \leq x \mid p \text{ Primzahl} \right\} } \right) }} { }
heißt Primzahlfunktion.
}{Ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
$R$ heißt lokal, wenn $R$ genau ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
besitzt.
}{Zu
\mathbed {q \in Q(R)} {}
{q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt die Abbildung, die jedem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} in $R$ die Ordnung
\mathl{\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (q)}{} zuordnet, der durch $q$ definierte Hauptdivisor.
}{Eine
quadratische Form
auf einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$L$ ist eine Abbildung
\maabbdisp {Q} {L} {R
} {,}
die die beiden Eigenschaften
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(rv)
}
{ =} { r^2 Q(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{r \in R}{} und
\mathl{v \in L}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(u+v) + Q(u-v)
}
{ =} { 2 Q(u) + 2Q(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{u,v \in L}{,}
}
erfüllt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der \stichwort {erste Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über die diophantische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^4+y^4
}
{ = }{ z^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left( \frac{ -1 }{ p }\right)
}
{ =} { (-1)^{\frac{p-1}{2} }
}
{ =} { \begin{cases} 1 \, , \text{ falls } p = 1 \mod 4 \, ,\\ -1 \, , \text{ sonst } \text{(also bei } p = 3 \mod 4 \mbox{)} \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Die diophantische Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4+y^4
}
{ =} { z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.}{\faktsituation {Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
$R$}
\faktfolgerung {ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{R/{\mathfrak a}}{} endlich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (1+3)}
{
a) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 9 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
b) Finde die Zahlen
\mathl{z \in \{0,1 , \ldots , 99 \}}{} mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates
\zusatzklammer {in der Dezimaldarstellung} {} {}
gleich $z$ ist.
}
{
a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass
\mathl{z=0,1,5,6}{} die Lösungen sind.
b) Es geht um die Frage, für welche
\mathl{z \in \Z/(100)}{} die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} {z^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in \mathlk{\Z/(100)}{}} {} {}
gilt. Es geht also darum, die
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{}
von
\mathl{\Z/(100)}{} zu finden. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(100)
}
{ =} {\Z/(4) \times \Z/(25)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente
\mathl{(0,0), (1,1), (1,0), (0,1)}{} in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen
\mathl{0,1, 25, 76}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {\mu_f} {R} {R
} {g} {fg
} {,}
wann $f$ ein
\definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{}
und wann $f$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
ist.
}
{
Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:
$f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle $g\in R$ aus $fg=0$ folgt $g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von $\mu_f$ nur aus $0$ besteht, was genau dann gilt, wenn $\mu_f$ injektiv ist.
$f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein $g\in R$ gibt mit $fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn $1$ zum Bild von $\mu_f$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass $\mu_f$ surjektiv ist, denn aus $fg=1$ folgt sofort $h=(fg)h=f(gh)$ für jedes $h\in R$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4 (2+2)}
{
Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass
\mathl{a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left(\frac{a}{n}\right)}{} in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n = 49$.
b) $n = 75$.
}
{Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und sei
\mathl{p \in R}{} ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
Zeige, dass $p$ auch im Polynomring
\mathl{R[X]}{} prim ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ph
}
{ = }{ fg
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir nehmen an, dass $p$ weder
\mathkor {} {f} {noch} {g} {}
teilt. Dann teilt $p$ nicht alle Koeffizienten von
\mathkor {} {f} {und von} {g} {.}
Es sei
\mathkor {} {f=\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}} {und} {g=\sum_{ j = 0 }^{ m } b_{ j } X^{ j}} {} und es seien
\mathkor {} {i_0} {bzw.} {j_0} {} die kleinsten Indizes derart, dass $a_{i_0}$
\zusatzklammer {bzw. \mathlk{b_{j_0}}{}} {} {} kein Vielfaches von $p$ ist
\zusatzklammer {für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von $p$} {} {.}
Wir betrachten den
\mathl{(i_0+j_0)}{-}ten Koeffizienten von $fg$, dieser ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{i_0+j_0}
}
{ =} { a_0 b_{i_0+j_0} + \cdots + a_{i_0 -1} b_{j_0+1} + a_{i_0}b_{j_0} + a_{i_0+1}b_{j_0-1} + \cdots + a_{i_0 +j_0}b_{0}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summanden links sind Vielfache von $p$ aufgrund der Wahl von $i_0$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von $p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von $p$ ist, muss auch der mittlere Summand
\mathl{a_{i_0} b_{j_0}}{} ein Vielfaches von $p$ sein. Da $p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $D \neq 1$ eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
mit
\mathl{D=1 \mod 4}{,} und sei $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für
\mathl{\frac{1 - \sqrt{D} }{2}}{} über $\Z$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset R \subset A_D}{} gibt.
}
{
Wir behaupten, dass
\mathl{X^2-X- \frac{D-1}{4}}{} eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \frac{1- \sqrt{D} }{2} \right) }^2 -\frac{1- \sqrt{D} }{2}- \frac{D-1}{4}
}
{ =} { \frac{1 -2 \sqrt{D} + D -2 + 2 \sqrt{D} - D+1}{4}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten nun die Ringerweiterung
\mathl{\Z[\sqrt{D}] \subset A_D}{.} Es ist
\mathl{u=1}{} und
\mathl{v=\frac{1+ \sqrt{D} }{2}}{} eine $\Z$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die $\Z$-Basis links, also $1$ und $\sqrt{D}$ aus als $u$ und
\mathl{2v - u}{.} Damit ist die Restklassengruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_D/\Z[\sqrt{D}]
}
{ \cong} { \Z^2/( (1,0), (-1,2))
}
{ \cong} { \Z^2/( (1,0), (0,2))
}
{ \cong} { \Z/(2)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe $G$ zwischen
\mathl{\Z[\sqrt{D}]}{} und $A_{D}$, dass
\mathl{G/\Z[\sqrt{D}]}{} die Nullgruppe oder $\Z/(2)$ ist. Damit ist
\mathl{G= \Z[\sqrt{D}]}{} oder
\mathl{G= A_D}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs $A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f
}
{ =} { \frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auf und berechne damit die Spur und die Norm von $f$.
}
{
Eine $\Z$-Basis von $A_{-7}$ ist gegeben durch $1$ und
\mathl{\frac{1 + \sqrt{-7} }{2}}{.} Die vier Produkte sind demnach $1$,
\mathl{\frac{1 + \sqrt{-7} }{2}}{}
\zusatzklammer {zweimal} {} {}
und
\mathl{{ \left( \frac{1 + \sqrt{-7} }{2} \right) }^2 = \frac{ -6 + 2 \sqrt{-7} }{4}}{.} Die Spuren davon sind $2$, $1$
\zusatzklammer {zweimal} {} {}
und $3$. Daher ist die Diskriminante gleich
\mathdisp {\triangle = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = -6 -1=-7} { . }
Das Element
\mathl{f=\frac{3}{2} + \frac{5}{2} \sqrt{-7}}{} wird bezüglich der $\Q$-Basis $1$ und $\sqrt{-7}$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & - \frac{35}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Deren Determinante, also die Norm, ist somit
\mathdisp {N(f)= \frac{9}{4} + \frac{175}{4} = \frac{184}{4} = 46} { }
und die Spur ist
\mathdisp {S(f) = \frac{6}{2} =3} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}