Elementare und algebraische Zahlentheorie/11/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	4	3	4	0	0	5	0	4	4	0	0	0	30

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Primelement ${}p\in R,\,p\neq 0$, in einem kommutativen Ring ${}R$.
2. Die eulersche Funktion ${}\varphi (n)$ zu ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Die Primzahlfunktion.
4. Ein lokaler Ring.
5. Ein Hauptdivisor zu einem Element ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, aus dem Quotientenkörper zu einem Zahlbereich ${}R$.
6. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$.

Lösung

1. Das Element ${}p$ heißt prim, wenn es eine Nichteinheit ist und wenn folgendes gilt: Teilt ${}p$ ein Produkt ${}ab$ mit ${}a,b\in R$, so teilt es einen der Faktoren.
2. Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$.
3. Die für ${}x\in \mathbb {R}$ definierte Funktion

   $x\longmapsto \pi (x):={\#\left({\left\{p\leq x\mid p{\text{ Primzahl}}\right\}}\right)}$

   heißt Primzahlfunktion.

4. Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
5. Zu ${}q\in Q(R)$, ${}q\neq 0$, heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(q)$ zuordnet, der durch ${}q$ definierte Hauptdivisor.
6. Eine quadratische Form auf einem ${}R$-Modul ${}L$ ist eine Abbildung

   $Q\colon L\longrightarrow R,$

   die die beiden Eigenschaften

   1. ${}Q(rv)=r^{2}Q(v)\,$

      für alle ${}r\in R$ und ${}v\in L$,

   2. ${}Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)\,$

      für alle ${}u,v\in L$,

   erfüllt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der erste Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Satz über die diophantische Gleichung ${}x^{4}+y^{4}=z^{2}$.
3. Der Satz über die Restklassenringe von Zahlbereichen.

Lösung

1. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:

   ${}\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}={\begin{cases}1\,,{\text{ falls }}p=1\mod 4\,,\\-1\,,{\text{ sonst }}{\text{(also bei }}p=3\mod 4{\mbox{)}}\,.\end{cases}}\,$

2. Die diophantische Gleichung

   ${}x^{4}+y^{4}=z^{2}\,$

   hat keine ganzzahlige nichttriviale Lösung.
3. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\neq 0$ in einem Zahlbereich ${}R$ ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ endlich.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

a) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,9\}$ mit der Eigenschaft, dass die letzte Ziffer ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

b) Finde die Zahlen ${}z\in \{0,1,\ldots ,99\}$ mit der Eigenschaft, dass die beiden letzten Ziffern ihres Quadrates (in der Dezimaldarstellung) gleich ${}z$ ist.

Lösung

a) Hier kann man direkt ausrechnen, dass ${}z=0,1,5,6$ die Lösungen sind.

b) Es geht um die Frage, für welche ${}z\in \mathbb {Z} /(100)$ die Gleichheit

${}z=z^{2}\,$

(in $\mathbb {Z} /(100)$) gilt. Es geht also darum, die idempotenten Elemente von ${}\mathbb {Z} /(100)$ zu finden. Wegen

${}\mathbb {Z} /(100)=\mathbb {Z} /(4)\times \mathbb {Z} /(25)\,$

und da es modulo einer Primzahlpotenz nur die trivialen idempotenten Elemente gibt, geht es um die Elemente ${}(0,0),(1,1),(1,0),(0,1)$ in der Produktdarstellung. Diese entsprechen den Zahlen ${}0,1,25,76$.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Lösung

Die Multiplikationsabbildung ist ein Gruppenhomomorphismus, wie direkt aus dem Distributivitätsgesetz folgt. Es gilt:

${}f$ ist ein Nichtnullteiler genau dann, wenn für alle ${}g\in R$ aus ${}fg=0$ folgt ${}g=0$. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Kern von ${}\mu _{f}$ nur aus ${}0$ besteht, was genau dann gilt, wenn ${}\mu _{f}$ injektiv ist.

${}f$ ist eine Einheit genau dann, wenn es ein ${}g\in R$ gibt mit ${}fg=1$, was genau dann der Fall ist, wenn ${}1$ zum Bild von ${}\mu _{f}$ gehört. Dies wiederum ist äquivalent dazu, dass ${}\mu _{f}$ surjektiv ist, denn aus ${}fg=1$ folgt sofort ${}h=(fg)h=f(gh)$ für jedes ${}h\in R$.

Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Suche für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a) ${}n=49$.

b) ${}n=75$.

Lösung Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 45 und 75/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}p\in R$ ein Primelement. Zeige, dass ${}p$ auch im Polynomring ${}R[X]$ prim ist.

Lösung

Sei ${}ph=fg$.  Wir nehmen an, dass ${}p$ weder ${}f$ noch ${}g$ teilt. Dann teilt ${}p$ nicht alle Koeffizienten von ${}f$ und von ${}g$. Es sei ${}f=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ und ${}g=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$ und es seien ${}i_{0}$ bzw. ${}j_{0}$ die kleinsten Indizes derart, dass ${}a_{i_{0}}$ (bzw. $b_{j_{0}}$) kein Vielfaches von ${}p$ ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ${}p$). Wir betrachten den ${}(i_{0}+j_{0})$-ten Koeffizienten von ${}fg$, dieser ist

${}c_{i_{0}+j_{0}}=a_{0}b_{i_{0}+j_{0}}+\cdots +a_{i_{0}-1}b_{j_{0}+1}+a_{i_{0}}b_{j_{0}}+a_{i_{0}+1}b_{j_{0}-1}+\cdots +a_{i_{0}+j_{0}}b_{0}\,.$

Die Summanden links sind Vielfache von ${}p$ aufgrund der Wahl von ${}i_{0}$ und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von ${}p$. Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ${}p$ ist, muss auch der mittlere Summand ${}a_{i_{0}}b_{j_{0}}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Da ${}p$ prim ist, ist dies ein Widerspruch.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}D\neq 1$ eine quadratfreie Zahl mit ${}D=1\mod 4$, und sei ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Man gebe eine Ganzheitsgleichung für ${}{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}$ über ${}\mathbb {Z}$ an. Man zeige, dass es keine echten Zwischenringe ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset R\subset A_{D}$ gibt.

Lösung

Wir behaupten, dass ${}X^{2}-X-{\frac {D-1}{4}}$ eine Ganzheitsgleichung ist. In der Tat, es ist

${}{\left({\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1-{\sqrt {D}}}{2}}-{\frac {D-1}{4}}={\frac {1-2{\sqrt {D}}+D-2+2{\sqrt {D}}-D+1}{4}}=0\,.$

Wir betrachten nun die Ringerweiterung ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\subset A_{D}$. Es ist ${}u=1$ und ${}v={\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ eine ${}\mathbb {Z}$-Basis rechts. In dieser Basis drückt sich die ${}\mathbb {Z}$-Basis links, also ${}1$ und ${}{\sqrt {D}}$ aus als ${}u$ und ${}2v-u$. Damit ist die Restklassengruppe

${}A_{D}/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(-1,2))\cong \mathbb {Z} ^{2}/((1,0),(0,2))\cong \mathbb {Z} /(2)\,.$

Daher gilt sogar für eine beliebige Gruppe ${}G$ zwischen ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ und ${}A_{D}$, dass ${}G/\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ die Nullgruppe oder ${}\mathbb {Z} /(2)$ ist. Damit ist ${}G=\mathbb {Z} [{\sqrt {D}}]$ oder ${}G=A_{D}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne explizit die Diskriminante des quadratischen Zahlbereichs ${}A_{-7}$. Stelle die Multiplikationsmatrix bezüglich einer geeigneten Basis für das Element

${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}\,$

auf und berechne damit die Spur und die Norm von ${}f$.

Lösung

Eine ${}\mathbb {Z}$-Basis von ${}A_{-7}$ ist gegeben durch ${}1$ und ${}{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}$. Die vier Produkte sind demnach ${}1$, ${}{\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}$ (zweimal) und ${}{\left({\frac {1+{\sqrt {-7}}}{2}}\right)}^{2}={\frac {-6+2{\sqrt {-7}}}{4}}$. Die Spuren davon sind ${}2$, ${}1$ (zweimal) und ${}3$. Daher ist die Diskriminante gleich

$\triangle =\det {\begin{pmatrix}2&1\\1&-3\end{pmatrix}}=-6-1=-7.$

Das Element ${}f={\frac {3}{2}}+{\frac {5}{2}}{\sqrt {-7}}$ wird bezüglich der ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}1$ und ${}{\sqrt {-7}}$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&-{\frac {35}{2}}\\{\frac {5}{2}}&{\frac {3}{2}}\end{pmatrix}}$

beschrieben. Deren Determinante, also die Norm, ist somit

$N(f)={\frac {9}{4}}+{\frac {175}{4}}={\frac {184}{4}}=46$

und die Spur ist

$S(f)={\frac {6}{2}}=3.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung