Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 5 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 3 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 34 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellesechzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{K}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {zyklische} {} Gruppe $G$.

}{Eine \stichwort {Carmichael-Zahl} {.}

}{Ein \stichwort {endlicher} {} Körper.

}{Ein \stichwort {Divisor} {} zu einem Zahlbereich $R$.

}{Eine \stichwort {zentralsymmetrische} {} Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}{Die \stichwort {Äquivalenz} {} von binären quadratischen Formen. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {zweite Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine $3$ ist, die kein Vielfaches der $3$ ist und die keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{2}
{

Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind: \aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ. }{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.} }{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.} }{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.} }{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist. } Was ist $n$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{5}
{

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Bestimme in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{23+2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{4}
{

Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {} an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} {} {} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{3}
{

Es sei
\mathl{p}{} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} zyklisch ist, dass
\mathl{-1}{} ein Quadratrest modulo
\mathl{p}{} genau dann ist, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.

a) $n= 125$.

b) $n= 63$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{1}
{

Finde die primitiven Einheitswurzeln in
\mathl{\Z/(5)}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}




\inputaufgabe
{0}
{

}
{} {}