Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	4	4	3	4	1	0	0	0	0	0	34

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine zyklische Gruppe ${}G$.
2. Eine Carmichael-Zahl.
3. Ein endlicher Körper.
4. Ein Divisor zu einem Zahlbereich ${}R$.
5. Eine zentralsymmetrische Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.
6. Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
2. Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
3. Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

1. ${}n$ ist negativ.
2. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$, aber nicht von ${}-16$.
3. ${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$.
4. ${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$, aber nicht von ${}125$.
5. In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)$

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass ${}-1$ ein Quadratrest modulo ${}p$ genau dann ist, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.

a) ${}n=125$.

b) ${}n=63$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde die primitiven Einheitswurzeln in ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

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