Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 1 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 0 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 0 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 0 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 34 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {zyklische} {} Gruppe $G$.
}{Eine \stichwort {Carmichael-Zahl} {.}
}{Ein \stichwort {endlicher} {} Körper.
}{Ein \stichwort {Divisor} {} zu einem Zahlbereich $R$.
}{Eine
\stichwort {zentralsymmetrische} {}
Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die \stichwort {Äquivalenz} {} von binären quadratischen Formen. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
}{Eine natürliche Zahl $n$, die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu $n$ teilerfremde ganze Zahl $a$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^{n-1}
}
{ =} { 1 \mod n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, heißt Carmichael-Zahl.
}{Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
}{Ein Divisor ist eine formale Summe
\mathdisp {\sum_{\mathfrak p} n_{\mathfrak p} \cdot {\mathfrak p}} { , }
die sich über alle
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} aus $R$ erstreckt und wobei
\mathl{n_{\mathfrak p}}{} ganze Zahlen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_{\mathfrak p}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für fast alle ${\mathfrak p}$ sind.
}{Die Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt
\mathl{P \in T}{} auch der Punkt $-P$ zu $T$ gehört.
}{Zwei
\definitionsverweis {binäre quadratische Formen}{}{}
\mathdisp {F= aX^2+bXY+cY^2 \text{ und } F'= a'X^2+b'XY+c'Y^2} { }
heißen
äquivalent,
wenn es eine ganzzahlige invertierbare $2 \times 2$-Matrix $M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F'
}
{ =} { F M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {zweite Ergänzungssatz} {} zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.}{Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.}{Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für eine ungerade Primzahl $p$ gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(\frac{2}{p}\right)
}
{ =} {(-1)^{\frac{p^2-1}{8} }
}
{ =} { \left\{\begin{matrix}1 \, , &\mbox{falls} & p = \pm 1 \mod 8 \, , \\ -1&\mbox{sonst}&\mbox{(also }p = \pm 3 \mod8\mbox{)}&\, .\end{matrix}\right.
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}{Eine gerade Zahl $n$ ist genau dann vollkommen, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 2^{k-1}(2^k-1)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist mit
\mathl{2^k-1}{} prim.}{Es sei $R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale
\mathl{0 \subset {\mathfrak m}}{} gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungfuenf{$R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
}{$R$ ist ein Hauptidealbereich.
}{$R$ ist faktoriell.
}{$R$ ist normal.
}{$\mathfrak m$ ist ein Hauptideal.
}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine $3$ ist, die kein Vielfaches der $3$ ist und die keine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.
}
{
Da es keine Primzahl sein soll, muss sie mindestens zwei
\zusatzklammer {eventuell identische} {} {}
Primfaktoren haben. Die Primfaktoren $2,5$ sind ausgeschlossen, da die letzte Ziffer $3$ sein muss, und nach Aufgabenstellung ist auch der Faktor $3$ ausgeschlossen. Das erste relevante Vielfache von $7$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{7 \cdot 19
}
{ =} { 133
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ferner besitzt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{11 \cdot 11
}
{ = }{ 121
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keine $3$ als letzte Ziffer und alle weiteren zusammengesetzen Zahlen ohne
\mathl{2,3,5,7}{} als Faktor sind größer, also ist $133$ die Antwort.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:
\aufzaehlungfuenf{$n$ ist negativ.
}{$n$ ist ein Vielfaches von $8$, aber nicht von
\mathl{-16}{.}
}{$n$ ist kein Vielfaches von
\mathl{36}{.}
}{$n$ ist ein Vielfaches von $150$, aber nicht von
\mathl{125}{.}
}{In der Primfaktorzerlegung von $n$ gibt es keine Primzahl, die größer als $5$ ist.
}
Was ist $n$?
}
{
Wir müssen nur für die Primzahlen
\mathl{2,3,5}{} bestimmen, mit welcher Potenz sie in $n$ vorkommen. Wegen (2) kommt $2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist $9$ kein Teiler von $n$, da ja $4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist $3$ ein Teiler von $n$. Wegen (4) kommt $5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {- 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2
}
{ =} { - 600
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kern}{}{} eines \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {R} {S } {} ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} in $R$ ist.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{I
}
{ \defeq} {\varphi^{-1}(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das bedeutet
\mathkor {} {\varphi(a)=0} {und} {\varphi(b)=0} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(a+b)
}
{ =} {\varphi(a) + \varphi(b)
}
{ =} { 0+0
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{}
und daher
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a+b
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei nun
\mathkor {} {a \in I} {und} {r \in R} {}
beliebig. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(ra)
}
{ =} { \varphi(r) \varphi(a)
}
{ =} { \varphi(r) \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.
}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w,z
}
{ \in }{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{w}{z}
}
{ =} { \frac{w \bar{z} }{z \bar{z} }
}
{ =} { q_1 + q_2 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_1, q_2
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es gibt ganze Zahlen
\mathl{a_1, a_2}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { q_1-a_1 } , \betrag { q_2-a_2 }
}
{ \leq }{ 1/2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q_1 + q_2 { \mathrm i}
}
{ =} {a_1 +a_2 { \mathrm i} + (q_1-a_1) + (q_2-a_2) { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 +a_2 { \mathrm i}
}
{ \in }{ \Z[{ \mathrm i}]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ N((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i})
}
{ =} { (q_1-a_1)^2 + (q_2-a_2)^2
}
{ \leq} { { \left( \frac{1}{2} \right) }^2 + { \left( \frac{1}{2} \right) }^2
}
{ <} { 1
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Multiplikation mit $z$ ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { z(a_1 +a_2 { \mathrm i}) + z((q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der rechte Summand gehört dabei zu $\Z[ { \mathrm i} ]$, da man ihn als
\mathl{w- z(a_1 +a_2 { \mathrm i})}{} schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ N { \left( z { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) } \right) }
}
{ =} { N(z) N { \left( (q_1-a_1) + (q_2-a_2){ \mathrm i} \right) }
}
{ <} { N(z)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Bestimme in
\mathl{\Z[ { \mathrm i} ]}{} mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von
\mathl{23+2 { \mathrm i}}{} und
\mathl{1+23 { \mathrm i}}{.}
}
{
Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit $- { \mathrm i}$ und erhalten $23 - { \mathrm i}$. Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 23+ 2 { \mathrm i}
}
{ =} { 1(23 - { \mathrm i} ) + 3 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im nächsten Schritt ist
\zusatzklammer {wir können mit $3$ statt mit $3 { \mathrm i}$ arbeiten} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{23 - { \mathrm i} }{3}
}
{ =} {7 + \frac{2}{3} - \frac{ { \mathrm i} }{3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 23 - { \mathrm i}
}
{ =} { 7 \cdot 3 + 2 - { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Weiter ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3
}
{ =} { (2- { \mathrm i} ) + 1 + { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (2- { \mathrm i} )
}
{ =} {( 1 + { \mathrm i} )( 1 - { \mathrm i} ) - { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass also Teilerfremdheit vorliegt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Man gebe eine surjektive Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3) } {} an, die mit der Multiplikation verträglich \zusatzklammer {also ein Monoidhomomorphismus} {} {} ist, aber kein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(3)
} {,}
die $0$ auf $0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf $1$ und die alle negativen Zahlen auf $2$ abbildet. Wenn $0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets $0$ raus, und dies gilt auch in $\Z/(3)$. Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von $\Z/(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf $1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente $1$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ = }{1+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
werden beide auf $1$ abgebildet, die Summe der $1$ ist aber in
\mathl{\Z/(3)}{} gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2
}
{ \neq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist dies kein Ringhomomorphismus.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mathl{p}{} eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} zyklisch ist, dass
\mathl{-1}{} ein Quadratrest modulo
\mathl{p}{} genau dann ist, wenn
\mathl{p=1 \mod 4}{} ist.
}
{Siehe Fakt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen $n$ eine zu $n$ teilerfremde Zahl $a$ derart, dass $a^{\frac{n-1}{2} } \neq \left( \frac{a}{n} \right)$ in $\Z/(n)$ gilt.
a) $n= 125$.
b) $n= 63$.
}
{Quadratisches Reziprozitätsgesetz/mod n/n ist 125 und 63/Kein Eulersches Kriterium/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde die primitiven Einheitswurzeln in
\mathl{\Z/(5)}{.}
}
{
\mathkor {} {1} {und} {-1 =4} {}
sind keine primitiven Einheitswurzeln, da ihre Ordnungen
\mathkor {} {1} {bzw.} {2} {}
sind. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2^2
}
{ =} {4
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^2
}
{ =} {4
}
{ \neq} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist die Ordnung von
\mathkor {} {2} {und von} {3} {}
gleich $4$, d.h. dass
\mathkor {} {2} {und} {3} {}
primitive Einheitswurzeln sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}