Elementare und algebraische Zahlentheorie/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	3	5	4	4	3	4	1	0	0	0	0	0	34

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine zyklische Gruppe ${}G$ .
Eine Carmichael-Zahl.
Ein endlicher Körper.
Ein Divisor zu einem Zahlbereich ${}R$ .
Eine zentralsymmetrische Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ .
Die Äquivalenz von binären quadratischen Formen.

Lösung

Eine Gruppe ${}G$ heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Eine natürliche Zahl ${}n$ , die nicht prim ist, und die die Eigenschaft besitzt, dass für jede zu ${}n$ teilerfremde ganze Zahl ${}a$
${}a^{n-1}=1\mod n\,$

gilt, heißt Carmichael-Zahl.
Ein Körper heißt endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
Ein Divisor ist eine formale Summe
$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.
Die Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${}P\in T$ auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.
Zwei binäre quadratische Formen
$F=aX^{2}+bXY+cY^{2}\,\,{\text{ und }}\,\,F'=a'X^{2}+b'XY+c'Y^{2}$

heißen äquivalent, wenn es eine ganzzahlige invertierbare ${}2\times 2$ -Matrix ${}M$ mit

${}F'=FM\,$

gibt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der zweite Ergänzungssatz zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.
Der Satz über gerade vollkommene Zahlen.
Der Satz über die Charakterisierung eines diskreten Bewertungsringes.

Lösung

Für eine ungerade Primzahl ${}p$ gilt:
${}\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}=\left\{{\begin{matrix}1\,,&{\mbox{falls}}&p=\pm 1\mod 8\,,\\-1&{\mbox{sonst}}&{\mbox{(also }}p=\pm 3\mod 8{\mbox{)}}&\,.\end{matrix}}\right.\,$
Eine gerade Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn ${}n=2^{k-1}(2^{k}-1)$ ist mit ${}2^{k}-1$ prim.
Es sei ${}R$ ${}R$ ein noetherscher lokaler Integritätsbereich mit der Eigenschaft, dass es genau zwei Primideale ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ ${}0\subset {\mathfrak {m}}$ gibt. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
1. ${}R$ ist ein diskreter Bewertungsring.
2. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich.
3. ${}R$ ist faktoriell.
4. ${}R$ ist normal.
5. ${}{\mathfrak {m}}$ ist ein Hauptideal.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ${}3$ ist, die kein Vielfaches der ${}3$ ist und die keine Primzahl ist.

Lösung

Da es keine Primzahl sein soll, muss sie mindestens zwei (eventuell identische) Primfaktoren haben. Die Primfaktoren ${}2,5$ sind ausgeschlossen, da die letzte Ziffer ${}3$ sein muss, und nach Aufgabenstellung ist auch der Faktor ${}3$ ausgeschlossen. Das erste relevante Vielfache von ${}7$ ist

{}7\cdot 19=133\,.

Ferner besitzt ${}11\cdot 11=121$ keine ${}3$ als letzte Ziffer und alle weiteren zusammengesetzen Zahlen ohne ${}2,3,5,7$ als Faktor sind größer, also ist ${}133$ die Antwort.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ganze Zahl, von der die folgenden Eigenschaften bekannt sind:

${}n$ ist negativ.
${}n$ ist ein Vielfaches von ${}8$ , aber nicht von ${}-16$ .
${}n$ ist kein Vielfaches von ${}36$ .
${}n$ ist ein Vielfaches von ${}150$ , aber nicht von ${}125$ .
In der Primfaktorzerlegung von ${}n$ gibt es keine Primzahl, die größer als ${}5$ ist.

Was ist ${}n$ ?

Lösung

Wir müssen nur für die Primzahlen ${}2,3,5$ bestimmen, mit welcher Potenz sie in ${}n$ vorkommen. Wegen (2) kommt ${}2$ mit der dritten Potenz vor, aber nicht mit der vierten. Wegen (3) ist ${}9$ kein Teiler von ${}n$ , da ja ${}4$ ein Teiler ist, und wegen (4) ist ${}3$ ein Teiler von ${}n$ . Wegen (4) kommt ${}5$ mit der zweiten Potenz vor, aber nicht mit der dritten. Daher ist

{}n=-2^{3}\cdot 3\cdot 5^{2}=-600\,.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

\varphi \colon R\longrightarrow S

ein Ideal in ${}R$ ist.

Lösung

Es sei

{}I:=\varphi ^{-1}(0)\,.

Wegen ${}\varphi (0)=0$ . ist ${}0\in I$ . Es seien ${}a,b\in I$ . Das bedeutet ${}\varphi (a)=0$ und ${}\varphi (b)=0$ . Dann ist

{}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)=0+0=0\,

und daher ${}a+b\in I$ .

Es sei nun ${}a\in I$ und ${}r\in R$ beliebig. Dann ist

{}\varphi (ra)=\varphi (r)\varphi (a)=\varphi (r)\cdot 0=0\,,

also ist ${}ra\in I$ .

Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Ring der Gaußschen Zahlen mit der Normfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Lösung

Es seien ${}w,z\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ , ${}z\neq 0$ . Wir betrachten den Quotienten

{}{\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{z{\bar {z}}}}=q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }\,.

Dies ist eine komplexe Zahl mit rationalen Koeffizienten, also ${}q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q}$ . Es gibt ganze Zahlen ${}a_{1},a_{2}$ mit ${}\vert {q_{1}-a_{1}}\vert ,\vert {q_{2}-a_{2}}\vert \leq 1/2$ . Damit ist

{}q_{1}+q_{2}{\mathrm {i} }=a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }+(q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\,

mit ${}a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} }\in \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ . Ferner ist

{}{\begin{aligned}N((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })&=(q_{1}-a_{1})^{2}+(q_{2}-a_{2})^{2}\\&\leq {\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}\\&<1.\end{aligned}}

Multiplikation mit ${}z$ ergibt

{}w=z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })+z((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} })\,.

Der rechte Summand gehört dabei zu ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ , da man ihn als ${}w-z(a_{1}+a_{2}{\mathrm {i} })$ schreiben kann. Aus der Multiplikativität der Norm folgt

N{\left(z{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}\right)}=N(z)N{\left((q_{1}-a_{1})+(q_{2}-a_{2}){\mathrm {i} }\right)}<N(z)\,.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}23+2{\mathrm {i} }$ und ${}1+23{\mathrm {i} }$ .

Lösung

Wir multiplizieren die zweite Zahl mit der Einheit ${}-{\mathrm {i} }$ und erhalten ${}23-{\mathrm {i} }$ . Damit ist

{}23+2{\mathrm {i} }=1(23-{\mathrm {i} })+3{\mathrm {i} }\,.

Im nächsten Schritt ist (wir können mit ${}3$ statt mit ${}3{\mathrm {i} }$ arbeiten)

{}{\frac {23-{\mathrm {i} }}{3}}=7+{\frac {2}{3}}-{\frac {\mathrm {i} }{3}}\,

bzw.

{}23-{\mathrm {i} }=7\cdot 3+2-{\mathrm {i} }\,.

Weiter ist

{}3=(2-{\mathrm {i} })+1+{\mathrm {i} }\,

und

{}(2-{\mathrm {i} })=(1+{\mathrm {i} })(1-{\mathrm {i} })-{\mathrm {i} }\,,

sodass also Teilerfremdheit vorliegt.

Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe eine surjektive Abbildung

\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3)

an, die mit der Multiplikation verträglich (also ein Monoidhomomorphismus) ist, aber kein Ringhomomorphismus ist.

Lösung

Wir betrachten die Abbildung

\varphi \colon \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(3),

die ${}0$ auf ${}0$ abbildet und die alle positiven Zahlen auf ${}1$ und die alle negativen Zahlen auf ${}2$ abbildet. Wenn ${}0$ mit einer Zahl multipliziert wird, so kommt stets ${}0$ raus, und dies gilt auch in ${}\mathbb {Z} /(3)$ . Das Vorzeichen verhält sich bei der Multiplikation genau so wie die Verknüpfung in der Gruppe mit zwei Elementen, und die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(3)$ besitzt zwei Elemente. Da die positiven Elemente auf ${}1$ gehen, wird die Multiplikation respektiert, und insgesamt liegt ein surjektiver Monoidhomomorphismus vor. Die Elemente ${}1$ und ${}2=1+1$ werden beide auf ${}1$ abgebildet, die Summe der ${}1$ ist aber in ${}\mathbb {Z} /(3)$ gleich ${}2\neq 1$ , also ist dies kein Ringhomomorphismus.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Begründe unter Verwendung der Tatsache, dass die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch ist, dass ${}-1$ ein Quadratrest modulo ${}p$ genau dann ist, wenn ${}p=1\mod 4$ ist.

Lösung Siehe Fakt.

Aufgabe (4 Punkte)

Suchen Sie für die folgenden zusammengesetzten Zahlen ${}n$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl ${}a$ derart, dass ${}a^{\frac {n-1}{2}}\neq \left({\frac {a}{n}}\right)$ in ${}\mathbb {Z} /(n)$ gilt.