Elementare und algebraische Zahlentheorie/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	2	4	2	2	3	4	3	0	4	0	0	0	0	30

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$.
2. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$-Algebra ${}A$.
3. Ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
6. Eine binäre quadratische Form.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
2. Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
3. Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe zwei Primfaktoren von ${}2^{35}-1$ an.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Zeige, dass die Einheiten von ${}R[X]$ genau die Einheiten von ${}R$ sind.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Polynom ${}P\in \mathbb {Q} [X]$ an, das nicht zu ${}\mathbb {Z} [X]$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${}n$ gilt: ${}P(n)\in \mathbb {Z}$.

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,.$

2. Zeige, dass

   $\left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${}x^{2}-y^{3}+2=0\,$

   ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${}\mathbb {F} _{9}$ als einen Restklassenkörper von ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$. Man gebe eine primitive Einheit in ${}\mathbb {F} _{9}$ an.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)